• Contexte
    L’éruption du volcan Nyiragongo a eu des conséquences dévastatrices. Plus de 3 500 maisons, 7 écoles et 4 centres de santé ont été détruits, laissant près de 200 000 personnes sans accès à l’eau potable. Tu dois répondre aux questions correctement pour aider les experts à comprendre l’histoire géologique du volcan. D'un point de vue mathématique, le phénomène sismique lié à une éruption volcanique peut-être analysé par des équations différentielles du second ordre.

    • Introduction

      Cai Tjeenk Willink, Wikimedia, license CC BY-SA 3.0 Le Nyiragongo abritait un lac de lave situé au fond de son cratère sommital, resté actif jusqu’en 1977. Au contraire de son voisin le Nyamuragira, caractérisé par son profil avec des flancs en pente douce typiques des volcans bouclier, le Nyiragongo présente des flancs en pente raide typiques d’un volcan composite.

      Deux stratovolcans plus anciens, Baruta et Shaheru, sont partiellement chevauchés par le Nyiragongo au nord et au sud. Environ 100 petits cônes s’élèvent le long de fissures radiales au sud de Shaheru, à l’ouest du sommet et le long d’une direction NE-SO jusqu’au lac Kivu. Plusieurs cônes sont enfouis sous les coulées de laves qui s’étendent sur les flancs, dont les plus récentes se prolongent vers le sud depuis une fissure sur le flanc est, jusqu’à presque 4 km de la ville de Goma.

      En , une mission volcanologique constate que le lac de lave se remplit à un rythme alarmant, avec un risque maximum d'ici quatre ans, et bien avant s'il se produit un tremblement de terre. Le , le volcan connaît une nouvelle phase éruptive. Deux coulées se sont déversées sur les flancs du volcan dont une en direction de la ville de Goma qui s'est arrêtée aux limites la ville.

    • Observer, mémoriser

      1. Tu vas te préparer en observant et en analysant les images ci-dessous. Clique sur les images pour les agrandir. 
      2. Fais, ensuite, le test.  

      Répartition mondiale du volcanisme ↓ 

      Eric Gaba, Wikimedia, license CC BY-SA 2.5. 

      		 Volcans de la Vallée du Rift ↓

      Sémhur, Wikimedia, licence CC-BY-SA-4.0. 


      Schéma plaques tectoniques ↓

      José F. Vigil, Wikimedia, license CC BY-SA 3.0. 

      Convergence de lithosphère avec subduction ↓

      Chris Martin, Wikimedia, license CC0  

      Schéma structurel d'un volcan ↓

      William Crochot, Wikimedia, license CC BY-SA 4.0. 





    • Lire, comprendre

      Le moment des maths est arrivé. Pour une bonne mémorisation, lis puis réalise l'exercice sur feuille, sans regarder la solution.

      À la suite d'une éruption volcanique, des séismes se produisent. Ces tremblements de Terre peuvent malheureusement avoir des répercussions sur l'habitat des populations locales. Pour comprendre ce phénomène sismique, nous allons encore avoir besoin des équations différentielles du second ordre.

      Rappel du cours sur les équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants du module Zamba :

      L'équation homogène associée est l'équation affichage y apostrophe apostrophe plus a y apostrophe plus b y égal à 0

      Résolution de l'équation homogène, cas complexe : soit affichage r au carré plus a r plus b égal à 0


      L'équation caractéristique associée


      Si l'équation caractéristique admet deux racines affichage r 1 et affichage r 2, alors les solutions de l'équation homogène affichage y apostrophe apostrophe plus a y apostrophe plus b y égal à 0 sont les fonctions :

      x flèche d ' un taquet vers la droite lambda e puissance r 1 x fin de l'exposant plus mu e puissance r 2 x fin de l'exposant espace espace espace a v e c espace lambda virgule mu appartient à simple nombres complexes


      Si l'équation caractéristique admet une racine double r, alors les solutions de l'équation homogène affichage y apostrophe apostrophe plus a y apostrophe plus b y égal à 0 sont les fonctions :

      x flèche d ' un taquet vers la droite parenthèse gauche lambda x plus mu parenthèse droite e puissance r x fin de l'exposant espace espace espace espace a v e c espace lambda virgule mu espace appartient à simple nombres réels


      Théorème


      Si incrément inférieur à 0 alors l'équation ax²+bx+c=0 n'admet pas de solution dans simple nombres réels

      Si incrément égal à 0 alors l'équation admet une solution double x égal à numérateur de la fraction moins b au-dessus du dénominateur 2 a fin de la fraction

      Si incrément supérieur à 0 alors l'équation admet deux solutions distinctes x' et x'' telles que :

      x apostrophe égal à numérateur de la fraction parenthèse gauche moins b plus début de racine carrée de incrément parenthèse droite fin de racine au-dessus du dénominateur 2 a fin de la fraction espace espace espace e t espace espace espace espace x apostrophe apostrophe égal à numérateur de la fraction parenthèse gauche moins b moins début de racine carrée de incrément parenthèse droite fin de racine au-dessus du dénominateur 2 a fin de la fraction


      Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation différentielle \(y'' - 3y' + 2y = 0\)

      L'équation caractéristique est \(r^2 - 3r + 2 = 0\)

      En vous aidant de la résolution d'un polynôme du second degré, on trouve les solutions suivantes :

      \(r_1 = 1\) et \(r_2 = 2\)

      Les solutions de l'équation homogène sont donc les fonctions \(x \mapsto \lambda e^{x} + \mu e^{2x}\), \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\).

    • Défi α

      Exerce-toi à résoudre une équation différentielle.


    • Défi β

      Ton défi consiste à modéliser le déplacement vertical d'un bâtiment au cours d'un séisme.


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