• Contexte

    Pour préserver la densité et la diversité de la forêt du Congo, il est nécessaire de mettre en œuvre des actions de conservation, de restauration, de gestion durable et de valorisation des ressources naturelles, en impliquant les acteurs locaux, nationaux et internationaux, et en tenant compte des besoins et des droits des populations qui vivent dans et de la forêt. L'analyse de la situation présente les perspectives et doit fournir des résultats pour mettre en œuvre les politiques de préservation de la forêt.

    • Lire, comprendre


      Équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants

      L'équation homogène associée est l'équation \(y'' + ay' + by = 0\)

      Résolution de l'équation homogène, cas complexe : soit \(r^2 + ar + b = 0\) l'équation caractéristique associée.

      Si l'équation caractéristique admet deux racines \(r_1\) et \(r_2\), alors les solutions de l'équation homogène \(y'' + ay' + by = 0\) sont les fonctions

      \(x \mapsto \lambda e^{r_1 x} + \mu e^{r_2 x}\) avec \(\lambda, \mu \in \mathbb{C}\).

      Si l'équation caractéristique admet une racine double \(r\), alors les solutions de l'équation homogène \(y'' + ay' + by = 0\) sont les fonctions

      \(x \mapsto (\lambda x + \mu) e^{rx}\) avec \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\).

      Théorème :

      Si Δ < 0 alors l'équation \(ax^2 + bx + c = 0\) n'admet pas de solution dans \(\mathbb{R}\)

      Si Δ = 0 alors l'équation admet une solution double \(x = \dfrac{-b}{2a}\)

      Si Δ > 0 alors l'équation admet deux solutions distinctes \(x'\) et \(x''\) telles que :

      \(x' = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(x'' = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\)

    • Observer, mémoriser

      Si tu souhaites bien mémoriser, tu lis, puis tu réalises l'exercice sur feuille, sans regarder la solution.

      Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation différentielle \(y'' - 3y' + 2y = 0\)

      L'équation caractéristique est \(r^2 - 3r + 2 = 0\),

      En vous aidant de la résolution d'un polynôme du second degré, on trouve les solutions suivantes :

      \(r_1 = 1\) et \(r_2 = 2\)

      Les solutions de l'équation homogène sont donc les fonctions \(x \mapsto \lambda e^x + \mu e^{2x}\), \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\).

    • Défi α

      Exerce-toi à résoudre une équation différentielle du second ordre.

    • Défi β

      Comment va évoluer la densité de la forêt dans le temps ?


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