• Contexte

    Tu vas utiliser le Théorème Central Limite pour estimer le pourcentage de pollution. Ce théorème stipule que la somme ou la moyenne d'un grand nombre d'observations indépendantes et identiquement distribuées tend à suivre une distribution normale.

    • Lire, comprendre, mémoriser


      La loi normale, également appelée distribution gaussienne, est souvent utilisée pour modéliser de nombreuses situations, y compris la croissance des bactéries dans des conditions idéales. Cette distribution est caractérisée par sa courbe en forme de cloche, où la majorité des observations sont proches de la moyenne, avec une décroissance symétrique vers les valeurs plus éloignées de la moyenne.

      Pour résoudre ces problèmes avec la loi normale, on utilise la formule de la densité de probabilité de la distribution normale et la table des valeurs z (score z) pour trouver les probabilités associées.

      La formule de la densité de probabilité de la distribution normale est donnée par :

      affichage f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à

      Où :

            •   μ est la moyenne,
            • affichage x est la variable aléatoire (population de bactéries dans notre cas),
            • σ est l'écart type.


      Les scores (ou valeurs) z dans la loi normale sont utilisés pour standardiser les variables aléatoires normales en termes de leur écart par rapport à la moyenne, en unités d'écart-type.

      La formule pour calculer le score z d'une valeur affichage x dans une distribution normale est la suivante :

                                                                                 

      Une fois que vous avez calculé le score z pour une valeur donnée, vous pouvez utiliser une table des valeurs z standardisées (table z) ou un logiciel statistique pour trouver la probabilité associée à ce score z.



      Supposons que les temps de réponse pour un service client suivent une distribution normale avec une moyenne de 8 minutes et un écart type de 2 minutes.


      a) Quelle est la probabilité qu'un temps de réponse choisi au hasard soit inférieur à 10 minutes ?

      P(X≤10)=Φ(1) (μ = 8, σ = 2)

      affichage Z égal à numérateur de la fraction 10 moins 8 au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction égal à 1

      En utilisant une table de valeurs z ou une calculatrice/statistique, Φ(1) est approximativement égal à 0.8413.

      Donc, la probabilité que le temps de réponse soit inférieur à 10 minutes est d'environ 0.8413 ou 84.13%.

       

      b) Quelle est la probabilité qu'un temps de réponse choisi au hasard soit supérieur à 6 minutes ?

      \(P(X>6) = 1 - P(X\leq 6)\) \(\quad\) \(z = \dfrac{6-8}{2} = -1\)

      En utilisant la même méthode que précédemment, Φ(−1) est approximativement égal à 0.1587.   
      Φ(−1) = 1 - Φ(1)=1-0.8413 =0.1587

      Donc, la probabilité que le temps de réponse soit supérieur à 6 minutes est d'environ 0.8413 ou 84.13%.

       

      c) Quelle est la probabilité qu'un temps de réponse choisi au hasard soit compris entre 7 et 9 minutes ?

      P(7<X<9)=P(X≤9)−P(X≤7)=Φ(0.5​)−Φ(-0.5​)= Φ(0.5​)-(1- Φ(0.5​))

      En utilisant les valeurs z correspondantes, nous obtenons approximativement Φ(0.5) et Φ(−0.5), qui sont respectivement égaux à environ 0.6915 et 0.3085.

      Donc, la probabilité que le temps de réponse soit compris entre 7 et 9 minutes est d'environ 0.6915 - 0.3085 = 0.383 ou 38.3%.

      Ces calculs sont basés sur l'utilisation de tables de valeurs z ou d'une calculatrice statistique avec les fonctions de distribution normale.

    • Défi α

      Pour t'exercer, tu vas travailler sur le sujet de la pollution de l'air.


    • Défi β

      Le fleuve est devenu un bouillon de culture pour les bactéries, qui se multiplient à une vitesse alarmante et menacent la santé des écosystèmes.
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