Résumé de section
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Contexte
Les bactéries peuvent s'adapter à divers milieux, elles disposent d'un fantastique pouvoir d'évolution. Pour réaliser la mission, tu vas suivre un protocole de travail très précis. Ensuite, tu te lanceras dans l'étude des variations d'une fonction, ici celle de la fonction exponentielle.-
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Fonction exponentielle, DérivéeLa fonction exponentielle a également une autre propriété très sympathique qui va nous faciliter la vie :
la dérivée de \(e^x\) est… \(e^x\) !
Quand on dérive \(e^x\), on retrouve la même fonction !\(\left(e^x\right)' = e^x\)
Il faut faire cependant attention aux fonctions composées !
La dérivée de eu est u’ x eu.
\((e^u)' = u' \times e^u\)
Regardons quelques exemples
C'est une fonction composée : \(e^u\), avec \(u = x^2 + 3x - 4\)
\(g(x) = e^{x^2+3x-4}\)
Ici \(u' = 2x+3\), donc \(g'(x) = (2x + 3) \times e^{x^2+3x-4}\)
Limites
Parlons limites maintenant !
On voit facilement avec la courbe que :
\(\displaystyle\lim_{x\to -\infty} e^x = 0\)
\(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} e^x = +\infty\)
Tableau de variationLe domaine de définition de la fonction exponentielle est ℝ
- La fonction exponentielle est positive sur ℝ
- \(f'(x) = f(x) = e^x\) est également strictement positive sur ℝ
La fonction exponentielle est donc strictement croissante sur ℝ
La représentation graphique de la fonction exponentielle est la suivante :
Exemple
Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par
\(f(x) = 0,4 e^{-0,2x}\)
Calculer la dérivée et dresser le tableau de variations
\(u = 0,4\) \(\quad\) \(u' = 0\)
\(v = e^{-0,2x}\) \(\quad\) \(v' = -0,2\, e^{-0,2x}\)
(uv)’=u’v+uv’\(f'(x) = -0,08\, e^{-0,2x}\)
\(e^{-0,2x}\) toujours positive donc \(-0,08\, e^{-0,2x}\) est négatif.Ma fonction est donc décroissante.
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Les bactéries se développent selon une croissance exponentielle, ceci est donc régi par une équation différentielle du premier ordre que tu vas devoir résoudre avec la plus grande rigueur.
Défi
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