• Contexte
    Les bactéries peuvent s'adapter à divers milieux, elles disposent d'un fantastique pouvoir d'évolution. Pour réaliser la mission, tu vas suivre un protocole de travail très précis. Ensuite, tu te lanceras dans la résolution de cas particuliers grâce aux fonctions exponentielles et logarithmiques.

    • Lire, comprendre


        

      Cette fonction se note affichage e puissance x ou affichage e x p parenthèse gauche x parenthèse droite


      A partir de la courbe, tu peux repérer des choses intéressantes :

      • Tout d’abord la fonction exponentielle est STRICTEMENT POSITIVE ! Cela va être très pratique quand on aura à faire des tableaux de signe par exemple, ou pour trouver le signe d’une fonction : $$e^x > 0$$
      • Par ailleurs, la fonction exponentielle est STRICTEMENT CROISSANTE. On va également s’en servir par la suite.
      • On voit également sur la courbe le point A qui est intéressant, il nous dit que :  affichage e puissance 0 égal à 1


      La fonction exponentielle a également d’autres propriétés à connaître :

      • affichage e puissance x croix de multiplication e puissance y égal à e puissance x plus y fin de l'exposant
      • affichage e puissance x sur e puissance y égal à e puissance x moins y fin de l'exposant
      • affichage e puissance moins x fin de l'exposant égal à 1 sur e puissance x

       

      Lien avec la fonction ln

      De même, 

      affichage e puissance l n x fin de l'exposant égal à x

      affichage l n parenthèse gauche e puissance x parenthèse droite égal à x


      Les deux fonctions « s’annulent » entre elles. C’est ce qu’on appelle des fonctions réciproques.

      D’accord c’est bien beau tout ça mais ça sert à quoi ?

      À plein de choses !

      Notamment à résoudre des équations ou inéquations avec des exponentielles.

    • Observer, mémoriser

      Si tu souhaites bien mémoriser, tu lis, puis tu réalises l'exercice sur feuille, sans regarder la solution.

      Voici la solution d’une équation différentielle du premier ordre :

      affichage f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à 4 inférieur à s u p supérieur à inférieur à divisé par s u p supérieur à e puissance moins 3 x fin de l'exposant


      Résoudre       affichage f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à 12

      affichage 4 inférieur à s u p supérieur à inférieur à divisé par s u p supérieur à e puissance moins 3 x fin de l'exposant égal à 12

      affichage e puissance moins 3 x fin de l'exposant égal à 12 sur 4

      affichage e puissance moins 3 x fin de l'exposant égal à 3

      affichage l n parenthèse gauche e puissance moins 3 x fin de l'exposant parenthèse droiteaffichage égal à l n 3

      affichage moins 3 x égal à l n 3

      affichage x égal à numérateur de la fraction l n 3 au-dessus du dénominateur moins 3 fin de la fractionaffichage égal à moins 0.37

    • Défi α

      Entraine-toi à résoudre une équation.


    • Défi β

      Le développement bactérien peut mettre en péril la population, au bout de combien de temps le nombre de bactéries va doubler ? 

◄Équat° différentielles
avec dérivée►