• Contexte

    On suppose que les bactéries se développent selon une croissance exponentielle, ceci est donc régi par une équation différentielle du premier ordre que tu vas devoir résoudre avec la plus grande rigueur.

    • Lire, comprendre


      Les équations différentielles du premier ordre sont couramment utilisées en sciences et en ingénierie pour modéliser des phénomènes changeants dans le temps ou l'espace. Elles peuvent représenter des processus de croissance, de décroissance, de propagation, de diffusion, ou tout autre phénomène où la variation d'une quantité est liée à son taux de changement.

      Les solutions d'une équation différentielle du premier ordre consistent généralement en une famille de fonctions (qui dépendent d'une ou plusieurs constantes arbitraires) obtenues par intégration et détermination de constantes à partir de conditions initiales ou de limites spécifiques.

      Résolution des équations

      Partie 1 : cas particulier de l'équation homogène \(y' + ay = 0\) 

      On considère un nombre réel \(a\).

      L'ensemble des solutions de l'équation différentielle \(y' + ay = 0\) est l'ensemble des fonctions définies sur \(\mathbb{R}\)

      par : \(x \mapsto k e^{-ax}\), où \(k\) est un nombre réel quelconque.


      Partie 2 : résolution de l'équation différentielle \(y' + ay = b\) (où \(a \neq 0\))

      On considère deux nombres réels \(a\) et \(b\) tels que \(a \neq 0\).

      L'ensemble des solutions de l'équation différentielle \(y' + ay = b\) est l'ensemble des fonctions définies sur \(\mathbb{R}\)
      par : \(x \mapsto k e^{-ax} + \dfrac{b}{a}\), où \(C = \dfrac{b}{a}\)

      \(C\) ou \(k\) sont des nombres réels quelconques.

       

    • Observer, mémoriser

      Si tu souhaites bien mémoriser, tu lis, puis tu réalises l'exercice sur feuille, sans regarder la solution.


      Une note de musique est émise en pinçant la corde d'une guitare électrique. La puissance du son émise, initialement de 100 watts, diminue avec le temps \(t\) mesuré en secondes. On modélise par \(f(t)\) la puissance du son émis, exprimée en watt, \(t\) secondes après le pincement de la corde.

      On considère l'équation différentielle (E) suivante où \(y\) est une fonction de la variable \(t\) définie et dérivable sur \([0 ; +\infty[\) et où \(y'\) est la fonction dérivée de \(y\) :

      (E) : \(21y' + 3y = 0\)

      Résoudre l'équation différentielle \(21y' + 3y = 0\)

      \(a = \dfrac{3}{21} = \dfrac{1}{7}\)

      \(y(t) = k e^{-\frac{1}{7}t}\)


      Déterminer la fonction \(f\) solution de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale \(y(0) = 100\).

      \(y(0) = k e^{-\frac{1}{7} \times 0} = 100\) donc \(k = 100\)

      \(y(t) = 100 e^{-\frac{1}{7}t}\)


    • Défi α

      Entraine-toi à résoudre une équation différentielle.


    • Défi β

      On suppose que les bactéries se développent selon une croissance exponentielle, ceci est donc régi par une équation différentielle du premier ordre.

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