• Contexte

    L'ingénieur écologue te charge d'une mission cette fois-ci pour évaluer les besoins quantitatifs de plantations de maïs afin de satisfaire la demande locale des populations. Le maïs est une culture de base pour de nombreux pays de l’hémisphère sud, et il est utilisé pour l’alimentation humaine et animale. Les enjeux de la production de maïs sont multiples : répondre à la demande alimentaire croissante, améliorer la sécurité alimentaire, créer des emplois locaux, augmenter les revenus des agriculteurs, et contribuer à la croissance économique. Pour cela, tu devras travailler avec la fonction dérivée d'une fonction polynôme du second degré.

    • Lire, comprendre


      Fonction dérivée d'une fonction polynôme du second degré

      Définition : affichage f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à a x au carré plus b x plus c définie sur affichage simple nombres réels.

      On appelle la fonction dérivée de affichage f notée affichage f apostrophe:

      affichage f apostrophe parenthèse gauche x parenthèse droite égal à 2 a x plus b

      La fonction affichage f apostrophe parenthèse gauche x parenthèse droite est une fonction affine de la forme :

      affichage y apostrophe égal à n x plus p   affichage n>0  la fonction est croisssante.


      Exemple : soit la fonction f définie sur affichage simple nombres réels

      par affichage f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à 2 x au carré moins 8 x plus 1


      1. Calculons affichage f apostrophe x

      affichage f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à 2 x au carré moins 8 x plus 1

      affichage f apostrophe parenthèse gauche x parenthèse droite égal à 4 x moins 8


      2. Déterminons le signe de affichage f apostrophe x en fonction de affichage x

      On commence par résoudre :

      affichage f apostrophe parenthèse gauche x parenthèse droite égal à 0

      affichage 4 x moins 8 égal à 0

      affichage 4 x égal à 8

      affichage x égal à 8 sur 4 donc affichage x égal à 2

      La fonction f' s'annule donc en x=2 et son coefficient directeur 4 est positif.

      Elle est donc d'abord négative sur l'intervalle  affichage crochet droit moins infini point-virgule 2 crochet gauche

      puis positive sur l'intervalle affichage crochet droit 2 point-virgule plus infini crochet gauche


      3. Dressons le tableau de variation


      affichage f parenthèse gauche 2 parenthèse droite égal à 2 croix de multiplication 2 au carré moins 8 croix de multiplication 2 plus 1 égal à moins 7

      La fonction admet un minimum égal à affichage moins 7 en affichage x égal à 2

      Cherchons pour quelles valeurs de affichage x

      affichage f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à 0

      affichage 2 x au carré moins 8 x plus 1

      affichage delta majuscule égal à b au carré moins 4 a c

      affichage delta majuscule parenthèse gauche moins 8 parenthèse droite au carré moins 4 croix de multiplication 2 croix de multiplication 1 égal à 56

      affichage delta majuscule>0

    • Défi α

      Calcule la croissance d'une plante suite à un apport d'engrais.

    • Défi β

      Montre ton niveau d'expertise en établissant le plein potentiel de croissance d'une production de maïs.


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