• Contexte

    L'ingénieur écologue te charge d'une mission cette fois-ci pour évaluer les besoins quantitatifs de plantations d’arbres fruitiers afin de satisfaire la demande locale des populations. Les arbres fruitiers fournissent des fruits riches en nutriments essentiels tels que les vitamines, les minéraux et les fibres. Ils peuvent également être utilisés pour produire des jus de fruits, des confitures et d’autres produits alimentaires. Pour cela, tu devras travailler avec les suites géométriques.

    • Lire, comprendre


      Définition : Une suite (affichage U indice n) est une suite géométrique s'il existe un nombre q tel que pour tout entier n, on a : cadre englobant U indice n plus 1 fin d'indice espace égal à espace q espace croix de multiplication espace U indice n fin


      Le nombre q est la raison.


      Exemple :

      considérons une suite numérique (affichage U indice n) où le rapport entre un terme et son précédent reste constant et égal à 2.

      Si le premier terme de la suite est : affichage U indice 0 égal à 5

      Calculons affichage U indice 1

      U indice 1 égal à q croix de multiplication U indice 0 U indice 1 égal à 2 croix de multiplication 5 U indice 1 égal à 10


      Propriété : (affichage U indice n) est une suite géométrique de raison q et de premier terme affichage U indice 0 affichage parenthèse gauche o u inférieur à t t supérieur à   inférieur à divisé par t t supérieur à U indice 1 parenthèse droite


      Pour tout entier naturel n, on a :

      cadre englobant U indice n égal à U indice 0 croix de multiplication q puissance n fin espace espace o u espace espace cadre englobant U indice n égal à U indice 1 croix de multiplication q puissance parenthèse gauche n moins 1 parenthèse droite fin de l'exposant fin


      Exemple 1 : On place un capital de 500 $ sur un compte dont les intérêts annuels s'élèvent à 2.5%.

      Ce capital suit une progression géométrique de raison 1.025.

      Ceci traduit une augmentation de 2.5%.

      s o i t espace 1 plus numérateur de la fraction 2.5 au-dessus du dénominateur 100 fin de la fraction égal à 1.025

      Calculons affichage U indice 2 sachant que affichage U indice 0 égal à 500

      U indice n égal à U indice 0 croix de multiplication q puissance n espace espace o u espace espace U indice n égal à U indice 1 croix de multiplication q puissance n moins 1 fin de l'exposant U indice 2 égal à U indice 0 croix de multiplication q au carré espace a v e c espace U indice 0 égal à 500 espace espace e t espace q égal à 1.025 U indice 2 égal à 500 croix de multiplication parenthèse gauche 1.025 parenthèse droite au carré U indice 2 égal à 525.31 $

      Donc au bout de 2 ans, on aura un intérêt de 25.31 $


      Exemple 2: Soit la suite géométrique affichage parenthèse gauche U indice n parenthèse droite définie par affichage U indice 1 égal à 3 et qui a pour raison q=2.

      Calulons affichage U indice 5

      U indice n égal à U indice 1 croix de multiplication q puissance n moins 1 fin de l'exposant U indice 5 égal à 3 croix de multiplication 2 puissance 4 égal à 48

    • Défi α

      Exerce-toi à calculer une suite géométrique en lien avec un prêt bancaire.

    • Défi β

      Calcule la croissance du nombre d'espèces d'arbres dans une exploitation agricole à l'aide d'une suite géométrique.

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